狄拉克δ函數(shù)的平方是什么？

最近看之前讀過(guò)的文獻(xiàn)，遇到了下面的公式：

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其中，L是x的分布范圍。之前是搞清楚怎么推導(dǎo)了，現(xiàn)在又忘記了。花了大概一個(gè)小時(shí)重新推導(dǎo)了一下。查網(wǎng)站翻書，特別頭疼，都是因?yàn)樽约簺](méi)有做記錄！！！同時(shí)發(fā)現(xiàn)中文關(guān)于這個(gè)內(nèi)容比較少，所以發(fā)出來(lái)希望能幫助到大家。

首先了解一下狄拉克δ函數(shù)（Dirac delta function）的定義：

可見(jiàn)狄拉克δ函數(shù)實(shí)際上是常數(shù)1的傅里葉變換。那么狄拉克δ函數(shù)的平方就是兩個(gè)常數(shù)1的傅里葉變換的乘積。根據(jù)卷積定理：函數(shù)卷積的傅里葉變換是函數(shù)傅里葉變換的乘機(jī)，也就是是說(shuō)上面的乘機(jī)積結(jié)果是常數(shù)1和常數(shù)1的卷積的傅里葉變換。

因此

如果x屬于（0~L），則

證明出來(lái)了。

未仔細(xì)檢查，如有錯(cuò)誤請(qǐng)留言

參考資料：

狄拉克δ函數(shù)的性質(zhì)

狄拉克δ函數(shù)有以下性質(zhì) ，在理解這些性質(zhì)的時(shí)候，應(yīng)該認(rèn)為等式兩邊分別作為被積函數(shù)的因子時(shí)得到的結(jié)果相等 偶函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)

放縮（或相似性）

這種性質(zhì)稱為挑選性，它將 在 點(diǎn)的值 挑選出來(lái)

上述性質(zhì)則可看成適用于高階導(dǎo)數(shù)的挑選性。 如果方程 的實(shí)根 全是單根，則

該等式的含義為，若將δ函數(shù)作用在一個(gè)函數(shù)上，則會(huì)把函數(shù)的實(shí)根挑選出來(lái)，其左邊表示在函數(shù) 為零時(shí)會(huì)取非零值，右邊表示在 處，會(huì)取得非零值，并且取值“大小”，或者說(shuō)在積分中的作用大小與δ函數(shù)的比值是函數(shù)在 處導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值的倒數(shù)。通過(guò)這一性質(zhì)可以得到一些具體的等式，如

以及

這個(gè)性質(zhì)說(shuō)明δ函數(shù)與x的乘積在積分中與0的作用是相同的。

python sympy怎樣把狄克拉函數(shù)定義出來(lái)

from?sympy?import?DiracDelta

即導(dǎo)入了狄拉克函數(shù)，可以送入一個(gè)變量求解，如：

DiracDelta(2)

輸出0。

什么是狄拉克函數(shù)

有時(shí)也說(shuō)單位脈沖函數(shù)。通常用δ表示。在概念上，它是這么一個(gè)“函數(shù)”：在除了零以外的點(diǎn)都等于零，而其在整個(gè)定義域上的積分等于1。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)狄拉克δ函數(shù)不能算是一個(gè)函數(shù)，因?yàn)闈M足以上條件的函數(shù)是不存在的。

狄拉克函數(shù)性質(zhì)

狄拉克δ函數(shù)是一個(gè)廣義函數(shù)，在物理學(xué)中常用其表示質(zhì)點(diǎn)、點(diǎn)電荷等理想模型的密度分布，該函數(shù)在除了零以外的點(diǎn)取值都等于零，而其在整個(gè)定義域上的積分等于1。

狄拉克δ函數(shù)在概念上，它是這么一個(gè)“函數(shù)”：在除了零以外的點(diǎn)函數(shù)值都等于零，而其在整個(gè)定義域上的積分等于1。

物理學(xué)中常常要研究一個(gè)物理量在空間或時(shí)間中分布的密度，例如質(zhì)量密度、電荷密度、每單位時(shí)間傳遞的動(dòng)量（即力）等等，但是物理學(xué)中又常用到質(zhì)點(diǎn)、點(diǎn)電荷、瞬時(shí)力等抽象模型，他們不是連續(xù)分布于空間或時(shí)間中，而是集中在空間中的某一點(diǎn)或者時(shí)間中的某一瞬時(shí)，那么它們的密度應(yīng)該如何表示呢？

嚴(yán)格來(lái)說(shuō)δ函數(shù)不能算是一個(gè)函數(shù)，因?yàn)闈M足以上條件的函數(shù)是不存在的。數(shù)學(xué)上，人們?yōu)檫@類函數(shù)引入了廣義函數(shù)的概念，在廣義函數(shù)的理論中，δ函數(shù)的確切意義應(yīng)該是在積分意義下來(lái)理解。在實(shí)際應(yīng)用中，δ函數(shù)總是伴隨著積分一起出現(xiàn) 。δ分布在偏微分方程、數(shù)學(xué)物理方法、傅立葉分析和概率論里都有很重要的應(yīng)用。

一些函數(shù)可以認(rèn)為是狄拉克δ函數(shù)的近似，但是要注意，這些函數(shù)都是通過(guò)極限構(gòu)造的，因此嚴(yán)格上都不是狄拉克δ函數(shù)本身，不過(guò)在一些數(shù)學(xué)計(jì)算中可以作為狄拉克δ函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

狄拉克δ函數(shù)有以下性質(zhì) ，在理解這些性質(zhì)的時(shí)候，應(yīng)該認(rèn)為等式兩邊分別作為被積函數(shù)的因子時(shí)得到的結(jié)果相等。

對(duì)稱性

偶函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)

放縮

放縮（或相似性）

挑選性

這種性質(zhì)稱為挑選性，它將 在 點(diǎn)的值 挑選出來(lái)

上述性質(zhì)則可看成適用于高階導(dǎo)數(shù)的挑選性。

狄拉克δ函數(shù)

8.1.1Δ 函數(shù)的定義

我們知道，一般函數(shù)的定義是對(duì)于自變量x的每一個(gè)值，都有特定函數(shù)值f（x）與之對(duì)應(yīng)，f（x）稱為在點(diǎn)x處的函數(shù)值。然而，這里我們要討論的δ函數(shù)不是這種通常意義下的函數(shù)，因?yàn)樗鼪](méi)有通常意義下的“函數(shù)值”；它的運(yùn)算作用只有出現(xiàn)在積分號(hào)里才能體現(xiàn)出來(lái)，它是某種復(fù)雜極限過(guò)程的簡(jiǎn)化符號(hào)，是廣義函數(shù)的一種。

所謂狄拉克δ函數(shù)是這樣一個(gè)算符δ（x），它使得對(duì)任何在x=0點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)f（x），有下式成立：

地球物理數(shù)據(jù)處理教程

為理解δ（x），對(duì)h＞0引進(jìn)如下函數(shù)序列

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由積分中值定理可知，存在ξ且｜ξ｜＜

，使得有

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于是得到：

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由此可以直觀地知道，由嚴(yán)格的理論也可以證明，δ（x）是δh（x）在某種意義下的極限。因?yàn)?/p>

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故可將δ（x）粗糙地理解為滿足

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及

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的一個(gè)較通常函數(shù)意義更廣的“函數(shù)”，（8.1.3）式是（8.1.1）式令f≡1而得到的。

物理上常用δ函數(shù)來(lái)描述集中分布的量，如集中質(zhì)量、集中電荷等，設(shè)在x軸上有一單位質(zhì)量集中在原點(diǎn)，用δ（x）表示密度分布函數(shù)，則在x≠0時(shí)，δ（x）=0。如果取δ（x）=C為有限常數(shù)，δ（x）便是一個(gè)通常意義下的分段連續(xù)函數(shù)，按照一般的積分計(jì)算有

δ（x）dx=0，即總質(zhì)量為零，這與假設(shè)直線上具有單位質(zhì)量相矛盾。故不能取δ（0）等于有限常數(shù)。事實(shí)上，若在x軸上取Δl為包含原點(diǎn)的區(qū)間段，ΔM為該段總的質(zhì)量，則密度應(yīng)為：

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由此可見(jiàn)，這里引入δ函數(shù)恰好描述了集中質(zhì)量問(wèn)題。在電法勘探問(wèn)題中，δ函數(shù)就恰好描述點(diǎn)源的電荷（或電流）密度。

上面我們定義了一維且奇點(diǎn)在x=0處的δ函數(shù)，對(duì)n維且奇點(diǎn)在任意點(diǎn)（

、

，…，

）的δ函數(shù)可類似地定義，即它是這樣一個(gè)算符δ（x1-

）δ（x2-

）…δ（xn-

），使得對(duì)任何在點(diǎn)（

，

，…，

）連續(xù)的函數(shù)f（x1，x2，…，xn），有

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成立，特別當(dāng)取n=1，x1=x，

=0時(shí)，則得到（8.1.1）式。實(shí)際上n維δ函數(shù)可寫成n個(gè)一維δ函數(shù)的乘積的形式。同樣它還應(yīng)滿足：

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及

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本書中只涉及二維或三維的δ函數(shù)。

對(duì)于一個(gè)有限的研究域，關(guān)于δ函數(shù)，我們還能給出下面常用結(jié)果，例如以二維情況為例：

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式中D為一個(gè)二維區(qū)域，f（x1，x2）在（

，

）處連續(xù)，在第二個(gè)等式中，要求D的邊界Γ在奇點(diǎn)（

，

）附近是光滑的，特殊情況，當(dāng)f=1時(shí)，可得：

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現(xiàn)在給出（8.1.7）式的一個(gè)直觀證明，當(dāng)x0=（

，

）在D外，由（8.1.5）式知δ在D及其邊界上恒為零，這時(shí)（8.1.7）式左部可理解為零函數(shù)在通常意義下的積分，其積分值為零，當(dāng)x0在D內(nèi)時(shí)，這時(shí)δ在D的邊界和外部恒為零，于是在這些部分的積分也為零，故

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圖8.1 D∩B的二維幾何表示

從而由（8.1.4）式可知（8.1.7）式中第三等式成立，對(duì)于奇點(diǎn)x0在區(qū)域邊界Γ的情況，令B（x0，ε）是以x0為圓心、ε為半徑的開(kāi)圓（在一維情況是開(kāi)區(qū)間，三維情況下是不含球面的球體，n維情況下為n維開(kāi)球），注意到δ在B（x0，ε）的外部和邊界上為零，知

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式中D∩B表示D域和B圓重合的部分，即圖8.1中陰影部分，另外有

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因?yàn)棣Ｔ趚0附近光滑，故當(dāng)ε趨于零時(shí)，D∩B域趨于半圓，這樣，由以上兩式有

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這便是（8.1.7）式中的第二等式。

8.1.2Δ 函數(shù)的性質(zhì)及其傅氏變換

對(duì)于一維情況，給出δ函數(shù)的一些常用性質(zhì)及其傅氏變換，均設(shè)f（x）在奇點(diǎn)處連續(xù)。由（8.1.7）式有

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另外，設(shè)α1、α2為常數(shù)，δ函數(shù)對(duì)加法運(yùn)算是線性的。

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對(duì)于任何在x0處連續(xù)的函數(shù)f（x），有

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上式稱為δ函數(shù)的篩選性質(zhì)。由于

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可知

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由于

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故有

δ（x）f（x）=δ（x）f（0） （8.1.14）

或同樣

δ（x-x0）f（x）=δ（x-x0）f（x0） （8.1.15）

如果（8.1.14）式中取f（x）=x，得

xδ（x）=0 （8.1.16）

若取f（x）在區(qū)間（-∞，α）（α為正數(shù)）外等于零，那么f（0）=0，于是

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由此推知

δ（x）=0 x ＜ 0 （8.1.17）

同理可得

δ（x）=0 x＞0 （8.1.18）

這便是（8.1.2）式的由來(lái)。

兩個(gè)δ函數(shù)的褶積由下式確定。

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于是

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下面我們給出δ函數(shù)的傅氏變換，根據(jù)δ函數(shù)的定義（8.1.1）式有

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反過(guò)來(lái)，數(shù)學(xué)上可以證明

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即是說(shuō)δ（x）與1組成傅氏變換對(duì)，由（8.1.10）式設(shè)f（x）=cosωx，可得δ的余弦變換為

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分享名稱：python狄拉克函數(shù) 狄拉克方程百科
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